GENEROSIDADES
E mundo en que vive el ser humano esta rodeado de conjuntos: conjuntos de los utensilios de cocina, conjunto de muebles de una habitación conjunto de libros de una biblioteca, conjunto de arboles. En todos ellos se usa la palabra conjunto con un significado de colección de varios objetos.
REPRESENTACION GRÁFICA DE UN CONJUNTO
La representacion gráfica de los conjuntos se realiza a través de diagramas de Venn(linea curva cerrada)
DIAGRAMA DE VENN
DIAGRAMA DE VENN
Jonh Venn, filosofo ingles(1834-1923),realizo importantes estudios de lógica y es conocido por los diagramas que llevan su nombre, que son representaciones grafías de silogismos y proposiciones.
Los objetivos que integran un conjunto reciben, en matemática, el nombre particular de elementos del mismo, se representan simbolicamente por medio de letras minúsculas.
A cada conjunto se lo designa mediante una letra mayúscula de imprenta.
EJEMPLO. M representa el conjunto de los dedos de la mano.
A cada elemento de dicho conjunto le asignamos para su representacion gráfica una letra.
a representa pulgar
b representa índice
c representa mayor
d representa anular
e representa meñique
PERTENENCIA A UN CONJUNTO
Cuando un elemento forma parte de un conjunto, dicho elemento pertenece al conjunto ϵ pertenece. Cuando un elemento no esta en un conjunto, dicho elemento no pertenece al conjunto. Ɇ no pertenece EJEMPLO consideremos el conjunto P de animales domésticos.
a ϵ Pb representa canario
b ϵ Pc representa gato
c ϵ Pm representa león
m ϵP f representa jabalí
f ϵ P COMO SE DEFINE UN CONJUNTO
Matematicamente, se considera que una reunión de elementos es un conjunto cuando este esta perfectamente definido, o sea cuando se sabe con exactitud que elementos pertenecen a el. Para definir un conjunto se utilizan dos llaves, en las cuales se encierran sus elementos o la propiedad que lo caracteriza. Cuando se nombra cada elemento que integra el conjunto, se dice que esta definido por extensión o numeración.
Si lo caracterizamos mediante una propiedad o enunciado que permita afirmar si un elemento cualquiera pertenece o no al conjunto, decimos que queda definido por compresion o propiedad.
En síntesis:
se puede definir un conjunto EXTENSIÓN o COMPRENSION
Dado el conjunto M={ dedos de la mano}
definimos por extensión el conjunto M.
M= {pulgar,índice,mayor,anular,meñique}
De igual modo quedaría definido por comprension diciendo:
M={x/x es dedo de la mano}
que se lee: el conjunto M esta formado por los elementos de x tal que x es dedo de la mano. x es una variable que representa a cualquier elemento del conjunto dado sin hacer determinaciones.
A={a,e,i,o,u} (extensión) B={3,4,5,6,7,8,9}
Dado el conjunto M={ dedos de la mano}
definimos por extensión el conjunto M.
M= {pulgar,índice,mayor,anular,meñique}
De igual modo quedaría definido por comprension diciendo:
M={x/x es dedo de la mano}
que se lee: el conjunto M esta formado por los elementos de x tal que x es dedo de la mano. x es una variable que representa a cualquier elemento del conjunto dado sin hacer determinaciones.
A={a,e,i,o,u} (extensión) B={3,4,5,6,7,8,9}
A={x/x es una vocal} (comprension) B={x/x es un numero de una cifra > 2}
CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Dados los siguientes conjuntos:
M={los meses del año}
N={los números naturales}
P={los países de América del Sur}
O={los números impares}
Si definimos por extensión los conjuntos N y Q nunca llegaremos a nombrar su ultimo elemento, pues siempre es posible enumerar uno mas. Estos conjuntos se llaman infinitos.
N={0,1,2,3,4,5}
O={1,3,5,7,9}
Se cierra la llave después de lo puntos suspensivos para indicar que no hay ultimo elemento. Los conjuntos que no son infinitos se llaman finitos y acontinuación de los puntos suspensivos se escribe el ultimo elemento.
M={enero,febrero,marzo,........,diciembre}
P={Argentina,Brasil,Perú,........,Uruguay}
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO VACIÓ
Se llama conjunto vació al que carece de elementos. Se designa con Ø.
T={x/x es un alumno de primer año de 5 años de edad}
El conjunto T tiene por elementos los x tales que x es un alumno de primer año de 5 años de edad; es igual al conjunto vació; de modo que no existen en primer año alumnos de 5 años de edad, dado que es condición indispensable para ser inscrito en ese curso tener 12 años de edad.
CONJUNTO UNITARIO
Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento
A={x/x es satélite de la tierra}
A representa Luna
UNIVERSAL O REFERENCIAL
Es el conjunto formado por todos lo elementos del tema de referencia.
Su gráfico es un rectángulo.
Ejemplo. Consideramos como universal el conjunto de todos los animales, U
U={x/x es un animal}
A={x/x es un perro}
Dado un conjunto:
P={x/x es un numero dígito}
Respecto de P el universal seria:
U={x/x es un numero natural} o
U={x/x ϵ N}
SUBCONJUNTOS. INCLUSIÓN
Se dice que un conjunto S esta incuido en C si y solo si todo elemento de S pertenece a C.
C={ frutas }
S={frutas cítricas}
S ʗ ↔ᵿ x/x ϵ S → x ϵ C;
ᴲ y/y ϵ ʗ ^ y Ɇ S
Se lee: S es el subconjunto de C o S esta en C si, para todo x tal que X pertenece al subconjunto S, implica que X pertenece al conjunto C ; pero existe algún elemento y tal que y pertenece al conjunto C y no pertenece al conjunto C y no pertenece al subconjunto S.
S={lima, limón ... naranja}
C={pera, banana, limón, naranja, durazno}
CONJUNTOS IGUALES
Se dice que un conjunto M es igual al conjunto N, cuando tiene lo mismos elementos que este y todo elemento de M pertenece al conjunto N y todo elemento de N pertenece al conjunto M.
M=N
M= N {si ᵿ y ϵ M → x ϵ N }
{si ᵿ x ϵ N → x ϵ M }
También se define la igualdad entre conjuntos por medio de la inclusión.
Dos conjuntos M y N son iguales su y solo si el primero esta incluido en el segundo y recíprocamente.
M=N ↔ M ʗ N ˄ N C M
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN Y DE LA IGUALDAD
Las relaciones de inclusión e igualdad entre conjuntos tienen las siguientes propiedades:
Relación de la inclusión Relación de la igualdad
Reflexiva: A ʗ A Reflexiva: A=A
Antisimetrica: si A ʗ B ˄B ʗ A → A=B Simétrica: si A = B→B = A
Transitiva: si A ʗ B ˄ B ʗ C→ A ʗ C Transintiva: si A = B ^ B = C→A = C
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN O REUNÍON DE CONJUNTOS
Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B.
A U B={x/x ϵ A u x ϵ B} se lee: A unión B ésta formado por todos los elementos x tal que x pertenece a A o x pertenece a B o bien x pertenece a los dos conjuntos a la vez.
Representacion Gráfica:
A= {a,b,c,d,e,f} A U B={a,b,c,d,e,f,j,k}
B={b,c,d,e,f,j,k}
UNIÓN CON LOS CONJUNTOS ESPECIALES a) La unión de un conjunto consigo mismo:
M U M= {a,b,c}
b)Dado el conjunto P={4, 7, 8, 9 } y U={números}
P U U=U
R U ᴓ
CONJUNTOS DISJUNTOS
Do conjuntos se dicen disjuntos cuando no tienen ningún elemento común.
Ejemplo:
A= {7, 8, 9, 10} y B={1,2,3,4,11}
Estos conjuntos son disjuntos, pues no tienen ningún elemento común.
COMPLEMENTO
Dados
M={6,7,8,9,10}
N={7,8,9}
CN;M={6,10}
CN;M se lee: complemento de N con respecto a M.
C N;M ={x/x ϵ M ˄; x Ɇ N}
UNIÓN DE MAS DE DOS CONJUNTOS
Dados:
A={2,3,4,5} B={4,5,6,7} C={7,8,9,3}
A U B U C={2,3,4,5,6,7,8,9}
A U B U C={x/x ϵ A v x ϵ B v x ϵ ʗ}
Que se lee: A unión B unión C es igual al conjunto de las x tal x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto C.
Representacion Gráfica:
INTERSECCION DE CONJUNTOS
Se llama intersección de dos conjuntos R y S al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultaneamente a R y S.
R Ƞ S={x/x ϵ R ^ x ϵ S}
que se lee: R intersección S es el conjunto formado por los elementos x tal que x pertenece a R y x pertenece a S.
Representacion gráfica:
R={m,n,r,s,t} S={m,q,n,p} R Ƞ S={m,n}
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se llama diferencia entre un conjunto A y otro conjunto B al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenece a B.
A-B={x/x ϵ A ^ x Ɇ B}
que se lee: A diferencia con B es el conjunto de las x tal que x pertenece al conjunto A y x no pertenece al conjunto B.
Representacion gráfica:
A={a,b,c,d,e,f} y
B={a,e,c,m,r,s}
A-B={b,d,f}
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