DIAGRAMA DE ARBOL

DIAGRAMA DE ARBOL
Un diagrama de arbol es una herramienta que nos sirve para obtener posibles resultados de un experimento que vayamos a estudiar o bien un fenomeno, el diagrama de arbol consta de pasos para poder realizarlo y asi tener las respectivas probabilidades, tambien nos sirve para poder organizar los calculos de una forma ordenada.
Un diagrama de arbol es un metodo grafico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algun objetivo final. En mejora de la calidad, los diagramas de arbol se utilizan generalmente para identificar todas la tareas necesarias para implantar una solucion.

COMO INTERPRETAR UN DIAGRAMA DE ARBOL

Han de realizarse dos preguntas importantes para cada rama de un diagrama de arbol: ¿garantizara la realizacion de todas las actividades que figuran a la derecha de un rectangulo concreto que se alcance el objetivo que contiene dicho rectangulo?, y ¿son necesarias todas las actividades que figuran a la derecha de un rectangulo concreto para alcanzar con exito ese objetivo? Habra que tener en cuenta los errores mas comunes que se suelen cometer, como son omitir una tares importante, llevar a cabo tareas innecesarias o no utilizar los resultados para el seguimiento y aseguramiento de que se realiza el trabajo convenientemente. Para evitar dicho errores, nos apoyaremos en otras herramientas, como la tormenta de ideas, el diagrama de flujo o la matriz de planificacion.

COMO ELABORAR UN DIAGRAMA DE ARBOL

1. Escribir el objetivo principal en el extremo izquierdo de un papel amplio.
2. Subdividir y separar el objetivo principal en objetivos secundarios.
3. Continuar subdividiendo o separando, identificando y relacionando otros objetivos
4. Garantizar una relacion directa causa-efecto entre un subtitulo y sus divisiones
5. Confirmar que alcanzando todos los subtemas y tareas se logra el objetivo principal

EVENTO Y SUS PROBABILIDADES

  ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE KP&L.

TABLA 1

PUNTO MUESTRAL        TIEMPO DE TERMINACION            PROBABILIDAD DEL

                                              DEL PROYECTO                                 PUNTO MUESTRAL

               (2,6)                                   8 meses                                            P(2,6)=6/40=0.15

               (2,7)                                   9 meses                                            P(2,7)=6/40=0.15

               (2,8)                                 10 meses                                            P(2,8)=2/40=0.05

               (3,6)                                   9 meses                                            P(3,6)=4/40=0.10

               (3,7)                                 10 meses                                            P(3,7)=8/40=0.20

               (3,8)                                 11 meses                                            P(3,8)=2/40=0.05

               (4,6)                                 10 meses                                            P(4,6)=2/40=0.05

               (4,7)                                  11 meses                                           P(4,7)=4/40=0.10

               (4,8)                                 12 meses                                            P(4,8)=6/40=0.15

EVENTOS Y SUS PROBABILIDADES

Hasta ahora hemos empleado el termino evento como lo manejamos en el lenguaje cotidiano.
Ahora presentamos la definición formal relacionada con la probabilidad de un evento.

Evento: Un evento es un conjunto de puntos muestrales. 
Para entenderlo mejor, volvamos al problema de KP&L (Kentucky Power and Light Company) y supongamos que al gerente de proyecto le interesa el evento en que todo el proyecto se puede determinar en 10 meses o menos.  Al consultar la tabla 1 vemos que hay seis puntos muestrales (2,6), (2,7), (2,8), (3,6) ( 3,6) y (4,6) que dan un tiempo de terminacion de 10 meses o menos. Sea C el evento en que el proyecto se termina en 10 meses o menos; escribimos
                   
                                        C={(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)

Se dice que el evento C ocurre si cualquiera de los seis puntos muestrales de arriba llega a ser el resultado experimental.
Otros eventos que podrían interesar a la gerencia de KP&L son los siguientes:
                         L= el evento en que el proyecto se termina en menos de 10 meses.

                        M=el evento en que el proyecto se termina en mas de 10 meses.

Con la información de la tabla 4.3, vemos que esos eventos consisten en lo siguientes puntos muestrales.
                        L= {(2,6), (2,7), (3,6)}

                        M= {(3,8), (4,7), (4,8)} 

Se puede definir una amplia variedad de eventos adicionales para el problema de esta compañía, pero en cada caso el evento debe definirse como un conjunto de puntos muestrales del experimento.
  Dadas las probabilidades de los puntos muestrales en la tabla 1 podemos usar la siguiente definición para calcular la probabilidad de cualquier evento que pudiera interesar a la agencia de KP&L. 

PROBABILIDAD DE UN EVENTO 
La probabilidad de un evento es igual a la una de las probabilidades de los puntos muestrales en el evento. 
  Con esta definición calcularemos la probabilidad  de determinado evento al sumar las probabilidades de los puntos muestrales (resultados experimentales) que lo forman.  Ya podemos calcular la probabilidad de que el proyecto dure 10 meses o menos en terminarse.  Como este evento esta definido por C={(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)}, la probabilidad del evento C, denota por P(C), esta dada por 

                                  P(C)= P(2,6) + P(2,7) + P(2,8) + P(3,6) + P(3,7) + P(4,6) 

Al consultar en la tabla 4.3 las probabilidades de los puntos muestrales, llegamos a

                                  P(C)=0.15 + 0.15 +0.5 +0.10 +0.20 + 0.05 = 0.70
Igualmente, como el evento de que el proyecto se termine en menos de 10 meses se expresa como L={(2,6),(2,7), (3,6), la probabilidad de este evento es.

                                   P(L)= P(2,6) + P(2,7) + P(3,6)
                                          = 0.15 + 0.15 +0.10 = 0.40
Por ultimo, para el evento de que el proyecto se termine en mas de 10 meses tenemos M={(3,8), (4,7), (4,8)}, y en consecuencia

                                    P(L)= P(3,8) + P(4,7) + P(4,8)
                                          =0.05 + 0.10 + 0.15=0.30 

Con los anteriores resultados probabilisticos, ya podemos informar a la gerencia de KP&L que hay una probabilidad de 0.70 que termine en 10 meses o menos, una de 0.40 de que se termine en menos de 10 meses, y una de 0.30 de que se termine en mas de 10 meses.
Este procedimiento para calcular probabilidades de eventos se puede repetir para cualquier evento que interese a la dirección de KL&L.
  Siempre que podamos identificar a todos los puntos muestrales de un experimento y asignar las probabilidades a cada uno, podemos calcular la probabilidad de un evento por medio de la definición.  Sin embargo, en muchos experimentos la cantidad de puntos muestrales es grande, y la identificacion de ellos, así como la determinación de sus probabilidades asociadas,es demasiado tediosa, si no es que imposible.

ALGUNAS RELACIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento formado por todos lo puntos muestrales que no están en A.  El complemento de A se representa con Ac, conocido con Diagrama de Venn que ilustra el concepto de un complemento. El área rectangular representa el espacio muestral del experimento y, como tal, contiene todos los puntos muestrales posibles.  El circulo representa al evento A y solo contiene los puntos muestrales que pertenecen a A.  La región sombreada del rectángulo contiene todos lo puntos muestrales que no están en el evento A y, por definición, es el  complemento de A. 

En cualquier aplicacion de probabilidades, debe suceder ya sea el evento A o su complemento Ac. En consecuencia. 
                                           P(A) + P(Ac) = 1 
 Al despejar P(A) obtenemos el siguiente resultado: 

Calculo de la probabilidad mediante el complemento 
                                                             
                                                                     P(A)= 1- P(Ac) 
La ecuación de calculo indica que la probabilidad de un evento A se puede calcular con facilidad si se conoce la probabilidad de su complemento, P(Ac). 
Por ejemplo, veamos el caso de un gerente de ventas que, después de revisar los informes de ventas, dice que 80%   de los contactos con nuevos clientes no resultan en venta alguna.  Si se define a A como el evento de una venta y Ac el no venta, lo que el gerente dice es que P(Ac)=0.80.  Al aplicar la ecuación tenemos.

                                                                       P(A)=1 - P(Ac)=1 - 0.880= 0.20

Podemos concluir que la probabilidad de que se haga una venta al entrar en contacto con un nuevo cliente e 0.20.
En otro ejemplo, un agente de compras dice que hay una probabilidad de 0.90 de que un proveedor mande un embarque sin partes defectuosas. Recorriendo al complemento, podemos decir que hay probabilidad de 1 - 0.90 = 0.10 de que el embarque contenga partes defectuosas.
COMPLEMENTO DEL EVENTO A  

LEY ADITIVA
La ley aditiva es útil cuando se tienen dos eventos y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos.  Esto es, con los eventos A y B nos interesa conocer la probabilidad de que suceda el evento A, o el evento B, o ambos.
Antes de presentar la ley adictiva, necesitamos analizar dos conceptos relacionados con la combinacion de eventos: la unión de eventos y la intersección de estos.  Dados dos eventos, A y B, la unión de A y B se define como sigue.

UNIÓN DE DO EVENTOS 
La unión de A y B es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B o a ambos.  La unión de A y B se representa con A U B.

El diagrama de venn muestra la unión de los eventos A y B. Observe que los dos círculos contiene todos los puntos muestrales del evento A y los puntos muestrales del evento B. El hecho de que los círculos se translapen indica que algunos puntos muestrales están contenidos tanto en A como B al mismo tiempo.
La definición de la intersección de dos eventos A y B es la siguiente.

INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS
Dados dos eventos, A y B, la intersección de A y B es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen simultaneamente a A y a B, y se representa como A Ƞ B.

El diagrama de Venn que muestra la intersección de los dos eventos es el de la figura, el área en donde se traslapan los dos círculos es la intersección; contiene los puntos muestrales que están en A y también en B.
Continuemos ahora con la descripción de la ley aditiva.  Esta ley proporciona una forma de calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o B, o ambos.  En otra palabras, la ley aditiva es útil para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, A U B. Esta ley se enuncia como sigue.

LEY ADITIVA
                       P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A Ƞ B)
         
                          Figura 1 Unión de los eventos A y B

                          Figura 2 Intersección de los eventos A y B

Para captar intuitivamente la ley aditiva, observe que los dos primeros términos en ella, P(A) + P(B), se asocian con todos los puntos muestrales en A U B. Sin embargo, como los puntos muestrales en la intersección A Ƞ B están en A y en B al mismo tiempo, al calcular P(A) + P(B) de hecho contamos dos veces a cada uno de los puntos en  A Ƞ B. Al restar P(A Ƞ B) corregimos el doble conteo.

Como ejemplo de aplicacion de ley aditiva, consideramos el caso de una pequeña ensambladora con 50 empleados. Se espera que cada trabajador termine a tiempo sus labores de trabajo, además de que el producto armado pase una inspección final. A veces, algunos de los trabajadores no pueden cumplir con los estándares de desempeño porque terminan su trabajo tarde y arman productos defectuosos. Al terminar un periodo de evaluacion de desempeño, el gerente de producción vio que 5 de los 50 trabajadores habían terminado tarde su trabajo, que 6 de los 50 habían armado productos defectuosos y que 2 habían terminado el trabajo tarde y también habían armado productos defectuosos.

Sean

              L=  el evento de que el trabajo se termine tarde

              D= el evento de que el producto armado es defectuoso

La información anterior sobre frecuencias relativas conduce a las siguientes probabilidades



                              P(L)=  5=0.10
                                         50

                             P(D)= 6=0.12
                                        50

                           P(L Ƞ D)= 2 =0.04
                                             50

Después de revisar los datos, el gerente de producción opto por asignar una mala calificación de desempeño al empleado cuyo trabajo se  presentara tarde o fuera defectuoso, en consecuencia, el evento de interés es L U D. ¿Que probabilidad hay de que asigne una mala calificación a un empleado?
Observe que, desde el punto de vista probabilistico, la cuestión se relaciona con la unión de dos eventos. En forma especifica, queremos conocer P(L U D). Aplicamos la ecuación de la figura 1 y obtenemos
                                     P(L U D)= P(L) + P(D) - P(L Ƞ D)

Conocemos los valores de las tres probabilidades del lado derecho de la ecuación y podemos escribir
                                    P(L U D)= 0.10+0.12-0.04=0.18

Este calculo indica una probabilidad de 0.18 de que un empleado elegido al azar recibe una mala calificación de desempeño.

EVENTO MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Se dice que dos eventos son mutuamente  excluyentes si no tienen puntos muestrales en común.

Esto es, los eventos A y B son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre uno, el otro no puede ocurrir. Así un requisito para que A y B sean mutuamente excluyentes es que su intersección no debe contener puntos muestrales. El diagrama de Venn donde se muestran dos elementos, A y B, mutuamente excluyente, se presenta en la figura 3. En este caso, P(A Ƞ B)= 0 y la ley se puede expresar como sigue.

LEY ADITIVA PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

                                                         P(A U B)= P(A) + P(B)

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Probabilidad,Reglas de conteo, Combinaciones y permutaciones

La PROBABILIDAD es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades se podrían usar como medidas del grado de incertidumbre. Los valores de probabilidad siempre se asigna en una escala de 0 a  1. Una probabilidad cercana a 0 indica que es difícil que el evento ocurra; una cercana a 1 indica que es casi seguro que sucederá. Otras probabilidades entre 0 y 1 representan grados de certeza de que el evento ocurra. Por ejemplo, si consideramos el evento "mañana llueve", entendemos que cuando el pronostico del clima indica " una probabilidad de que llueva cercana a cero", significa casi ninguna probabilidad de lluvia. Sin embargo, si el informe es de 0.90 de probabilidad de lluvia, sabemos que es probable que llueva. Una probabilidad de 0.50 indica que las posibilidades de que llueva o no son iguales. En la figura se ilustra la probabilidad como una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.

EXPERIMENTOS, REGLAS DE CONTEO Y ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES

En el estudio de la probabilidad, definimos un EXPERIMENTO como un proceso que genera resultados bien definidos. En cualquier repetición siempre de un experimento, ocurrirá uno y solo uno de los posibles resultados experimentales. A continuación  vemos algunos ejemplos de experimentos y sus resultados.

         EXPERIMENTO                                                       RESULTADOS DEL EXPERIMENTO

         Lanzar una moneda                                                 Cara, escudo

        Seleccionar una parte para inspeccionarla           Defectuoso, no defectuoso

         Venta de Teléfonos                                                  Compro, no compro

        Tirar un dado                                                              1,2,3,4,5,6

         Jugar un partido de fútbol                                         Ganar,perder,empatar

Cuando hayamos especificado todos los resultados posibles, habremos identificado el ESPACIO MUESTRAL del experimento.

ESPACIO MUESTRAL

Para un experimento el espacio muestral es el conjunto de todos los resultados experimentales.

Un resultado experimental también se conoce como PUNTO MUESTRAL para identificarlo como elemento del espacio muestral.

Considere el primer experimento de la tabla anterior- lanzamiento de una moneda. Los resultados experimentales(puntos muestrales) están determinados por la cara superior de la moneda- cara o escudo. Si S representa el espacio muestral podremos usar la siguiente notación para describirlo.

                                                  S={cara,escudo}

El espacio muestral para el segundo experimento de la tabla- seleccionar una parte para inspección- tiene el siguiente, espacio muestral y puntos muestrales.

                                                   S={defectuoso,no defectuoso}

Los experimentos, antes descritos tienen dos resultados experimentales(punto muestral). Sin embargo, suponga que consideramos el cuarto experimento listado- lanzar un dado. Los posibles resultados experimentales definidos como el numero de puntos que aparecen en la cara superior del dado son los seis puntos del espacio muestral para este experimento.

         

                                                S={1,2,3,4,5,6}

REGLAS DE CONTEO, COMBINACIONES, PERMUTACIONES

Un paso necesario en la asignación de probabilidades es poder identificar y contar los resultados experimentales. A continuación se analizan tres reglas de conteo que resultan útiles.

EXPERIMENTO DE VARIAS ETAPAS

La primer regla de conteo es para experimentos de varias etapas. Considere el experimento que consite en lanzar dos monedas. Los resultados experimentales se definen en términos de la sucesión de caras o escudos que aparecen en las caras superiores de las dos monedas. ¿Cuantos resultados experimentales son posibles para este experimento? Lanzar las dos monedas se pueden considerar como un experimento de dos pasos en que el primero es el lanzamiento de la primera moneda y el segundo es el lanzamiento de la segunda. Si para denotar escudo usamos la H y para denotar cara empleamos una T.(H,H) indica el resultado experimental con escudo en la primera moneda y un escudo en la segunda. Con esta notación podemos describir el espacio muestral S para el lanzamiento de monedas de la manera siguiente:

                 S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

Así vemos que son posibles cuatro resultados experimentales.En este caso, no es difícil listarlos todos.

La regla de conteo para experimentos de varias etapas permite determinar el numero de resultados experimentales sin listarlos.

REGLA DE CONTEO PARA EXPERIMENTOS DE ETAPAS MÚLTIPLES

Si un experimento se puede describir como una sucesión de K etapas, en las que hay n1 resultados posibles de la primera etapa, n2  en la segunda, etc.., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1),(n2)......(nK).

Si el experimento de lanzar dos monedas se considera como una sucesión de primero lanzar una moneda (n1=2) y luego lanzar la otra (n2=2), podemos inferir de la regla de conteo que hay (2)(2)=4 resultados experimentales distintos. Como se observa, hay S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}. El numero de resultados experimentales en un experimento que consiste en el lanzamiento d seis monedas es (2)(2)(2)(2)(2)(2)=64

COMBINACIONES

Una segunda regla de conteo que con frecuencia es de utilidad, permite contar la cantidad de resultados experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar r objetos entre un conjunto de n objetos(por lo común mas grande). Se llama regla de conteo para combinaciones.  El orden de los objetos seleccionados no es importante en el orden.

Regla de conteo para combinaciones

La cantidad de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es



La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5!=(5)(4)(3)(2)(1)=120. Por definición, 0! es igual a 1.

Un ejemplo de la regla de conteo para combinaciones es un procedimiento de control de calidad en que un inspector selecciona al azar dos de cinco partes, para examinar y ver si tiene defectos. En un grupo de cinco partes,¿cuantas combinaciones de dos partes se puede seleccionar?. La regla de conteo de la ecuación que para n=5 y r=2 el resultado es

Así, hay 10 resultados en el experimento de seleccionar al azar dos partes de un grupo de cinco. Si identificamos a cinco partes como A,B,C,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE y DE.

Otros ejemplo es el siguiente: la lotería de ohio emplea selección aleatoria de seis números de un grupo de 47 para determinar al ganador semanal. Se puede aplicar la regla de conteo. para combinaciones, para calcular la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar seis números distintos de entre un grupo de 47 números.

La regla de conteo para combinaciones indica que hay mas de 10 millones de resultados experimentales para determinar al ganador de la lotería. Una persona se compra un boleto de lotería tiene una posibilidad de ganar 10737573 .

PERMUTACIONES 

Una tercer regla de conteo que a veces resulta útil es la regla de conteo para permutuaciones. Esta permite que uno pueda calcular el numero de resultados experimentales al seleccionar r objetos de un conjunto n objetos, donde es importante el orden de selección. Si los mismos r objetos se seleccionan en otro orden se considera que se trata de un resultado experimental distinto . En las permutaciones si importa el orden

Regla de conteo para permutaciones

El numero de permutaciones de n objetos tomando r a la vez esta dado por

La regla de conteo para permutuaciones tiene estrecha relación con la de las combinaciones. No obstante, un experimento tendrá mas permutaciones que combinaciones para el mismo numero de objetos porque cada selección de r objetos tiene n! formas distintas para ordenarlos.

Como ejemplo, considere de nuevo el proceso de control de calidad en que un inspector selecciona dos de cinco parte para hallar los defectos. ¿Cuantas permutuaciones es posible seleccionar? La regla de conteo de ecuación muestra que con n=5 y r=2 se tiene

Por tanto, 20 resultados son posibles para el experimento de elegir al azar dos pares de un grupo de cinco cuando hay que tomar en cuenta el orden de selección. Si marcamos las partes A,B,C, y E, las 20 permutaciones son AB,BA,AC,CA,AD,DA,AE,EA,BC,CB,BD,,DB,BE,EB,CD,DC,CE,EC,DE,ED.

   

TEORIA DE CONJUNTOS

TEORÍA DE CONJUNTOS
GENEROSIDADES
E mundo en que vive el ser humano esta rodeado de conjuntos: conjuntos de los utensilios de cocina, conjunto de muebles de una habitación conjunto de libros de una biblioteca, conjunto de arboles. En todos ellos se usa la palabra conjunto con un significado de colección de varios objetos.
REPRESENTACION GRÁFICA DE UN CONJUNTO
La representacion gráfica de los conjuntos se realiza a través de diagramas de Venn(linea curva cerrada)


DIAGRAMA DE VENN



















DIAGRAMA DE VENN
Jonh Venn, filosofo ingles(1834-1923),realizo importantes estudios de lógica y es conocido por los diagramas que llevan su nombre, que son representaciones grafías de silogismos y proposiciones.
Los objetivos que integran un conjunto reciben, en matemática, el nombre particular de elementos del mismo, se representan simbolicamente por medio de letras minúsculas.
A cada conjunto se lo designa mediante una letra mayúscula de imprenta.
EJEMPLO. M representa el conjunto de los dedos de la mano.
A cada elemento de dicho conjunto le asignamos para su representacion gráfica una letra.

                                                    
                                                              a   representa pulgar
                                                              b   representa índice
                                                              c   representa mayor
                                                              d   representa anular
                                                              e  representa meñique
PERTENENCIA A UN CONJUNTO
Cuando un elemento forma parte de un conjunto, dicho elemento pertenece al conjunto ϵ pertenece. Cuando un elemento no esta en un conjunto, dicho elemento no pertenece al conjunto. Ɇ no pertenece EJEMPLO consideremos el conjunto P de animales domésticos.

    a representa perro             a ϵ P
     b representa canario        b ϵ P
   c representa gato              c ϵ P
     m representa león             m ϵP 
     f  representa jabalí             f ϵ P






COMO SE DEFINE UN CONJUNTO
Matematicamente, se considera que una reunión de elementos es un conjunto cuando este esta perfectamente definido, o sea cuando se sabe con exactitud que elementos pertenecen a el. Para definir un conjunto se utilizan dos llaves, en las cuales se encierran sus elementos o la propiedad que lo caracteriza. Cuando se nombra cada elemento que integra el conjunto, se dice que esta definido por extensión o numeración.
Si lo caracterizamos mediante una propiedad o enunciado que permita afirmar si un elemento cualquiera pertenece o no al conjunto, decimos que queda definido por compresion o propiedad.

En síntesis:

se puede definir un conjunto EXTENSIÓN o COMPRENSION
Dado el conjunto M={ dedos de la mano}
definimos por extensión el conjunto M.
M= {pulgar,índice,mayor,anular,meñique}
De igual modo quedaría definido por comprension diciendo:
M={x/x es dedo de la mano}
que se lee: el conjunto M esta formado por los elementos de x tal que x es dedo de la mano. x es una variable que representa a cualquier elemento del conjunto dado sin hacer determinaciones.
     A={a,e,i,o,u} (extensión)                                                        B={3,4,5,6,7,8,9}

    A={x/x es una vocal} (comprension)                                       B={x/x es un numero de una cifra > 2}

             

    

 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Dados los siguientes conjuntos:         

                                                     M={los meses del año}

                                                     N={los números naturales}

                                                     P={los países de América del Sur}

                                                     O={los números impares}

Si definimos por extensión los conjuntos N y Q nunca llegaremos a nombrar su ultimo elemento, pues siempre es posible enumerar uno mas. Estos conjuntos se llaman infinitos.

                                                     N={0,1,2,3,4,5}

                                                     O={1,3,5,7,9}

Se cierra la llave después de lo puntos suspensivos para indicar que no hay ultimo elemento. Los conjuntos que no son infinitos se llaman finitos y acontinuación de los puntos suspensivos se escribe el ultimo elemento.

                                                     M={enero,febrero,marzo,........,diciembre}

                                                      P={Argentina,Brasil,Perú,........,Uruguay}

CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO VACIÓ

Se llama conjunto vació al que carece de elementos. Se designa con Ø.

     T={x/x es un alumno de primer año de 5 años de edad}

El conjunto T tiene por elementos los x tales que x es un alumno de primer año de 5 años de edad; es igual al conjunto vació; de modo que no existen en primer año alumnos de 5 años de edad, dado que es condición indispensable para ser inscrito en ese curso tener 12 años de edad.

CONJUNTO UNITARIO

Se llama conjunto unitario al que tiene un solo elemento

A={x/x es satélite de la tierra}

A representa Luna

UNIVERSAL O REFERENCIAL

Es el conjunto formado por todos lo elementos del tema de referencia.

Su gráfico es un rectángulo.

Ejemplo. Consideramos como universal el conjunto de todos los animales, U

                           U={x/x es un animal}

                           A={x/x es un perro}

Dado un conjunto:

                           P={x/x es un numero dígito}

Respecto de P el universal seria:

                           U={x/x es un numero natural}  o

                           U={x/x ϵ N} 

SUBCONJUNTOS. INCLUSIÓN

Se dice que un conjunto S esta incuido en C si y solo si todo elemento de S pertenece a C.

                           C={ frutas }

                           S={frutas cítricas}

                           S ʗ ↔ᵿ x/x ϵ S  → x ϵ C;

                      ᴲ y/y ϵ ʗ ^ y  Ɇ S 

Se lee: S es el subconjunto de C o S esta en C si, para todo x tal que X pertenece al subconjunto S, implica que X pertenece al conjunto C ; pero existe algún elemento y tal que y pertenece al conjunto C y no pertenece al conjunto C y no pertenece al subconjunto S.

                                    S={lima, limón ... naranja}

                                    C={pera, banana, limón, naranja, durazno}

CONJUNTOS IGUALES 

Se dice que un conjunto M es igual al conjunto N, cuando tiene lo mismos elementos que este y todo elemento de M pertenece al conjunto N y todo elemento de N pertenece al conjunto M. 

                                                                      M=N 

                    M= N  {si ᵿ  y ϵ M → x ϵ N }

                              {si ᵿ x  ϵ N  → x ϵ M } 

También se define la igualdad entre conjuntos por medio de la inclusión. 

Dos conjuntos M y N son iguales su y solo si el primero esta incluido en el segundo y recíprocamente. 

                                   M=N  ↔ M ʗ N ˄ N C M

PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN Y DE LA IGUALDAD

Las relaciones de inclusión e igualdad entre conjuntos tienen las siguientes propiedades:

Relación de la inclusión                                                Relación de la igualdad

Reflexiva:    A ʗ A                                                         Reflexiva:  A=A                        

Antisimetrica:  si A ʗ B ˄B ʗ A  → A=B                      Simétrica: si A = B→B = A

Transitiva:      si A ʗ  B ˄ B ʗ C→ A ʗ C                      Transintiva: si A = B ^ B = C→A = C

  
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN O REUNÍON DE CONJUNTOS

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B.
A U B={x/x ϵ A u x ϵ B}  se lee: A unión B ésta formado por todos los elementos x tal que x pertenece a A o x pertenece a B o bien x pertenece a los dos conjuntos a la vez.
Representacion Gráfica:

A= {a,b,c,d,e,f}                       A U B={a,b,c,d,e,f,j,k}

                                       B={b,c,d,e,f,j,k}

UNIÓN CON LOS CONJUNTOS ESPECIALES
a) La unión de un conjunto consigo mismo:

                                                         M U M = M      M={a,b,c}
                                                         M U M= {a,b,c}


b)Dado el conjunto P={4, 7, 8, 9 } y U={números}
P U U=U

c)Dado el conjunto R={m, n, p } y S = ᴓ
                                R U ᴓ

CONJUNTOS DISJUNTOS
Do conjuntos se dicen disjuntos cuando no tienen ningún elemento común.
Ejemplo:

                                                             A= {7, 8, 9, 10}   y  B={1,2,3,4,11}
Estos conjuntos son disjuntos, pues no tienen ningún elemento común.


COMPLEMENTO
Dados
                            M={6,7,8,9,10} 
                            N={7,8,9}
                            CN;M={6,10}


CN;M se lee: complemento de N con respecto a M. 

Se llama complemento de N con respecto a M al conjunto de los elementos de M que no pertenecen a N. 
                   C N;M ={x/x ϵ M ˄; x Ɇ N}


UNIÓN DE MAS DE DOS CONJUNTOS
Dados:
          A={2,3,4,5}         B={4,5,6,7}            C={7,8,9,3}
        A U B U C={2,3,4,5,6,7,8,9}
        A U B U C={x/x ϵ A v x ϵ B v x ϵ ʗ}


Que se lee: A unión B unión C es igual al conjunto de las x tal x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto C.

Representacion Gráfica:

  

INTERSECCION DE CONJUNTOS

Se llama intersección de dos conjuntos R y S al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultaneamente a R y S.

                            R Ƞ S={x/x ϵ R ^ x ϵ S}

que se lee: R intersección S es el conjunto formado por los elementos x tal que x pertenece a R y x pertenece a S.

Representacion gráfica:

R={m,n,r,s,t}        S={m,q,n,p}          R Ƞ S={m,n}

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Se llama diferencia entre un conjunto A y otro conjunto B al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenece a B.

                     A-B={x/x  ϵ A ^ x  Ɇ B}

que se lee: A diferencia con B es el conjunto de las x tal que x pertenece al conjunto A y x no pertenece al conjunto B.

Representacion gráfica:

                                      A={a,b,c,d,e,f} y

                                      B={a,e,c,m,r,s}

                                      A-B={b,d,f}