EVENTO Y SUS PROBABILIDADES

  ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES EN EL PROBLEMA DE KP&L.

TABLA 1

PUNTO MUESTRAL        TIEMPO DE TERMINACION            PROBABILIDAD DEL

                                              DEL PROYECTO                                 PUNTO MUESTRAL

               (2,6)                                   8 meses                                            P(2,6)=6/40=0.15

               (2,7)                                   9 meses                                            P(2,7)=6/40=0.15

               (2,8)                                 10 meses                                            P(2,8)=2/40=0.05

               (3,6)                                   9 meses                                            P(3,6)=4/40=0.10

               (3,7)                                 10 meses                                            P(3,7)=8/40=0.20

               (3,8)                                 11 meses                                            P(3,8)=2/40=0.05

               (4,6)                                 10 meses                                            P(4,6)=2/40=0.05

               (4,7)                                  11 meses                                           P(4,7)=4/40=0.10

               (4,8)                                 12 meses                                            P(4,8)=6/40=0.15

EVENTOS Y SUS PROBABILIDADES

Hasta ahora hemos empleado el termino evento como lo manejamos en el lenguaje cotidiano.
Ahora presentamos la definición formal relacionada con la probabilidad de un evento.

Evento: Un evento es un conjunto de puntos muestrales. 
Para entenderlo mejor, volvamos al problema de KP&L (Kentucky Power and Light Company) y supongamos que al gerente de proyecto le interesa el evento en que todo el proyecto se puede determinar en 10 meses o menos.  Al consultar la tabla 1 vemos que hay seis puntos muestrales (2,6), (2,7), (2,8), (3,6) ( 3,6) y (4,6) que dan un tiempo de terminacion de 10 meses o menos. Sea C el evento en que el proyecto se termina en 10 meses o menos; escribimos
                   
                                        C={(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)

Se dice que el evento C ocurre si cualquiera de los seis puntos muestrales de arriba llega a ser el resultado experimental.
Otros eventos que podrían interesar a la gerencia de KP&L son los siguientes:
                         L= el evento en que el proyecto se termina en menos de 10 meses.

                        M=el evento en que el proyecto se termina en mas de 10 meses.

Con la información de la tabla 4.3, vemos que esos eventos consisten en lo siguientes puntos muestrales.
                        L= {(2,6), (2,7), (3,6)}

                        M= {(3,8), (4,7), (4,8)} 

Se puede definir una amplia variedad de eventos adicionales para el problema de esta compañía, pero en cada caso el evento debe definirse como un conjunto de puntos muestrales del experimento.
  Dadas las probabilidades de los puntos muestrales en la tabla 1 podemos usar la siguiente definición para calcular la probabilidad de cualquier evento que pudiera interesar a la agencia de KP&L. 

PROBABILIDAD DE UN EVENTO 
La probabilidad de un evento es igual a la una de las probabilidades de los puntos muestrales en el evento. 
  Con esta definición calcularemos la probabilidad  de determinado evento al sumar las probabilidades de los puntos muestrales (resultados experimentales) que lo forman.  Ya podemos calcular la probabilidad de que el proyecto dure 10 meses o menos en terminarse.  Como este evento esta definido por C={(2,6), (2,7), (2,8), (3,6), (3,7), (4,6)}, la probabilidad del evento C, denota por P(C), esta dada por 

                                  P(C)= P(2,6) + P(2,7) + P(2,8) + P(3,6) + P(3,7) + P(4,6) 

Al consultar en la tabla 4.3 las probabilidades de los puntos muestrales, llegamos a

                                  P(C)=0.15 + 0.15 +0.5 +0.10 +0.20 + 0.05 = 0.70
Igualmente, como el evento de que el proyecto se termine en menos de 10 meses se expresa como L={(2,6),(2,7), (3,6), la probabilidad de este evento es.

                                   P(L)= P(2,6) + P(2,7) + P(3,6)
                                          = 0.15 + 0.15 +0.10 = 0.40
Por ultimo, para el evento de que el proyecto se termine en mas de 10 meses tenemos M={(3,8), (4,7), (4,8)}, y en consecuencia

                                    P(L)= P(3,8) + P(4,7) + P(4,8)
                                          =0.05 + 0.10 + 0.15=0.30 

Con los anteriores resultados probabilisticos, ya podemos informar a la gerencia de KP&L que hay una probabilidad de 0.70 que termine en 10 meses o menos, una de 0.40 de que se termine en menos de 10 meses, y una de 0.30 de que se termine en mas de 10 meses.
Este procedimiento para calcular probabilidades de eventos se puede repetir para cualquier evento que interese a la dirección de KL&L.
  Siempre que podamos identificar a todos los puntos muestrales de un experimento y asignar las probabilidades a cada uno, podemos calcular la probabilidad de un evento por medio de la definición.  Sin embargo, en muchos experimentos la cantidad de puntos muestrales es grande, y la identificacion de ellos, así como la determinación de sus probabilidades asociadas,es demasiado tediosa, si no es que imposible.

ALGUNAS RELACIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento formado por todos lo puntos muestrales que no están en A.  El complemento de A se representa con Ac, conocido con Diagrama de Venn que ilustra el concepto de un complemento. El área rectangular representa el espacio muestral del experimento y, como tal, contiene todos los puntos muestrales posibles.  El circulo representa al evento A y solo contiene los puntos muestrales que pertenecen a A.  La región sombreada del rectángulo contiene todos lo puntos muestrales que no están en el evento A y, por definición, es el  complemento de A. 

En cualquier aplicacion de probabilidades, debe suceder ya sea el evento A o su complemento Ac. En consecuencia. 
                                           P(A) + P(Ac) = 1 
 Al despejar P(A) obtenemos el siguiente resultado: 

Calculo de la probabilidad mediante el complemento 
                                                             
                                                                     P(A)= 1- P(Ac) 
La ecuación de calculo indica que la probabilidad de un evento A se puede calcular con facilidad si se conoce la probabilidad de su complemento, P(Ac). 
Por ejemplo, veamos el caso de un gerente de ventas que, después de revisar los informes de ventas, dice que 80%   de los contactos con nuevos clientes no resultan en venta alguna.  Si se define a A como el evento de una venta y Ac el no venta, lo que el gerente dice es que P(Ac)=0.80.  Al aplicar la ecuación tenemos.

                                                                       P(A)=1 - P(Ac)=1 - 0.880= 0.20

Podemos concluir que la probabilidad de que se haga una venta al entrar en contacto con un nuevo cliente e 0.20.
En otro ejemplo, un agente de compras dice que hay una probabilidad de 0.90 de que un proveedor mande un embarque sin partes defectuosas. Recorriendo al complemento, podemos decir que hay probabilidad de 1 - 0.90 = 0.10 de que el embarque contenga partes defectuosas.
COMPLEMENTO DEL EVENTO A  

LEY ADITIVA
La ley aditiva es útil cuando se tienen dos eventos y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos.  Esto es, con los eventos A y B nos interesa conocer la probabilidad de que suceda el evento A, o el evento B, o ambos.
Antes de presentar la ley adictiva, necesitamos analizar dos conceptos relacionados con la combinacion de eventos: la unión de eventos y la intersección de estos.  Dados dos eventos, A y B, la unión de A y B se define como sigue.

UNIÓN DE DO EVENTOS 
La unión de A y B es el evento que contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B o a ambos.  La unión de A y B se representa con A U B.

El diagrama de venn muestra la unión de los eventos A y B. Observe que los dos círculos contiene todos los puntos muestrales del evento A y los puntos muestrales del evento B. El hecho de que los círculos se translapen indica que algunos puntos muestrales están contenidos tanto en A como B al mismo tiempo.
La definición de la intersección de dos eventos A y B es la siguiente.

INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS
Dados dos eventos, A y B, la intersección de A y B es el evento que contiene los puntos muestrales que pertenecen simultaneamente a A y a B, y se representa como A Ƞ B.

El diagrama de Venn que muestra la intersección de los dos eventos es el de la figura, el área en donde se traslapan los dos círculos es la intersección; contiene los puntos muestrales que están en A y también en B.
Continuemos ahora con la descripción de la ley aditiva.  Esta ley proporciona una forma de calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o B, o ambos.  En otra palabras, la ley aditiva es útil para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, A U B. Esta ley se enuncia como sigue.

LEY ADITIVA
                       P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A Ƞ B)
         
                          Figura 1 Unión de los eventos A y B

                          Figura 2 Intersección de los eventos A y B

Para captar intuitivamente la ley aditiva, observe que los dos primeros términos en ella, P(A) + P(B), se asocian con todos los puntos muestrales en A U B. Sin embargo, como los puntos muestrales en la intersección A Ƞ B están en A y en B al mismo tiempo, al calcular P(A) + P(B) de hecho contamos dos veces a cada uno de los puntos en  A Ƞ B. Al restar P(A Ƞ B) corregimos el doble conteo.

Como ejemplo de aplicacion de ley aditiva, consideramos el caso de una pequeña ensambladora con 50 empleados. Se espera que cada trabajador termine a tiempo sus labores de trabajo, además de que el producto armado pase una inspección final. A veces, algunos de los trabajadores no pueden cumplir con los estándares de desempeño porque terminan su trabajo tarde y arman productos defectuosos. Al terminar un periodo de evaluacion de desempeño, el gerente de producción vio que 5 de los 50 trabajadores habían terminado tarde su trabajo, que 6 de los 50 habían armado productos defectuosos y que 2 habían terminado el trabajo tarde y también habían armado productos defectuosos.

Sean

              L=  el evento de que el trabajo se termine tarde

              D= el evento de que el producto armado es defectuoso

La información anterior sobre frecuencias relativas conduce a las siguientes probabilidades



                              P(L)=  5=0.10
                                         50

                             P(D)= 6=0.12
                                        50

                           P(L Ƞ D)= 2 =0.04
                                             50

Después de revisar los datos, el gerente de producción opto por asignar una mala calificación de desempeño al empleado cuyo trabajo se  presentara tarde o fuera defectuoso, en consecuencia, el evento de interés es L U D. ¿Que probabilidad hay de que asigne una mala calificación a un empleado?
Observe que, desde el punto de vista probabilistico, la cuestión se relaciona con la unión de dos eventos. En forma especifica, queremos conocer P(L U D). Aplicamos la ecuación de la figura 1 y obtenemos
                                     P(L U D)= P(L) + P(D) - P(L Ƞ D)

Conocemos los valores de las tres probabilidades del lado derecho de la ecuación y podemos escribir
                                    P(L U D)= 0.10+0.12-0.04=0.18

Este calculo indica una probabilidad de 0.18 de que un empleado elegido al azar recibe una mala calificación de desempeño.

EVENTO MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Se dice que dos eventos son mutuamente  excluyentes si no tienen puntos muestrales en común.

Esto es, los eventos A y B son mutuamente excluyentes si, cuando ocurre uno, el otro no puede ocurrir. Así un requisito para que A y B sean mutuamente excluyentes es que su intersección no debe contener puntos muestrales. El diagrama de Venn donde se muestran dos elementos, A y B, mutuamente excluyente, se presenta en la figura 3. En este caso, P(A Ƞ B)= 0 y la ley se puede expresar como sigue.

LEY ADITIVA PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

                                                         P(A U B)= P(A) + P(B)

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES