sábado, 25 de septiembre de 2010

Probabilidad,Reglas de conteo, Combinaciones y permutaciones

La PROBABILIDAD es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades se podrían usar como medidas del grado de incertidumbre. Los valores de probabilidad siempre se asigna en una escala de 0 a  1. Una probabilidad cercana a 0 indica que es difícil que el evento ocurra; una cercana a 1 indica que es casi seguro que sucederá. Otras probabilidades entre 0 y 1 representan grados de certeza de que el evento ocurra. Por ejemplo, si consideramos el evento "mañana llueve", entendemos que cuando el pronostico del clima indica " una probabilidad de que llueva cercana a cero", significa casi ninguna probabilidad de lluvia. Sin embargo, si el informe es de 0.90 de probabilidad de lluvia, sabemos que es probable que llueva. Una probabilidad de 0.50 indica que las posibilidades de que llueva o no son iguales. En la figura se ilustra la probabilidad como una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento.





EXPERIMENTOS, REGLAS DE CONTEO Y ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES
En el estudio de la probabilidad, definimos un EXPERIMENTO como un proceso que genera resultados bien definidos. En cualquier repetición siempre de un experimento, ocurrirá uno y solo uno de los posibles resultados experimentales. A continuación  vemos algunos ejemplos de experimentos y sus resultados.

         EXPERIMENTO                                                       RESULTADOS DEL EXPERIMENTO
         Lanzar una moneda                                                 Cara, escudo
        Seleccionar una parte para inspeccionarla           Defectuoso, no defectuoso
         Venta de Teléfonos                                                  Compro, no compro
        Tirar un dado                                                              1,2,3,4,5,6
         Jugar un partido de fútbol                                         Ganar,perder,empatar

Cuando hayamos especificado todos los resultados posibles, habremos identificado el ESPACIO MUESTRAL del experimento.

ESPACIO MUESTRAL
Para un experimento el espacio muestral es el conjunto de todos los resultados experimentales.

Un resultado experimental también se conoce como PUNTO MUESTRAL para identificarlo como elemento del espacio muestral.
Considere el primer experimento de la tabla anterior- lanzamiento de una moneda. Los resultados experimentales(puntos muestrales) están determinados por la cara superior de la moneda- cara o escudo. Si S representa el espacio muestral podremos usar la siguiente notación para describirlo.
                                                  S={cara,escudo}

El espacio muestral para el segundo experimento de la tabla- seleccionar una parte para inspección- tiene el siguiente, espacio muestral y puntos muestrales.

                                                   S={defectuoso,no defectuoso}

Los experimentos, antes descritos tienen dos resultados experimentales(punto muestral). Sin embargo, suponga que consideramos el cuarto experimento listado- lanzar un dado. Los posibles resultados experimentales definidos como el numero de puntos que aparecen en la cara superior del dado son los seis puntos del espacio muestral para este experimento.
         
                                                S={1,2,3,4,5,6}

REGLAS DE CONTEO, COMBINACIONES, PERMUTACIONES

Un paso necesario en la asignación de probabilidades es poder identificar y contar los resultados experimentales. A continuación se analizan tres reglas de conteo que resultan útiles.

EXPERIMENTO DE VARIAS ETAPAS
La primer regla de conteo es para experimentos de varias etapas. Considere el experimento que consite en lanzar dos monedas. Los resultados experimentales se definen en términos de la sucesión de caras o escudos que aparecen en las caras superiores de las dos monedas. ¿Cuantos resultados experimentales son posibles para este experimento? Lanzar las dos monedas se pueden considerar como un experimento de dos pasos en que el primero es el lanzamiento de la primera moneda y el segundo es el lanzamiento de la segunda. Si para denotar escudo usamos la H y para denotar cara empleamos una T.(H,H) indica el resultado experimental con escudo en la primera moneda y un escudo en la segunda. Con esta notación podemos describir el espacio muestral S para el lanzamiento de monedas de la manera siguiente:
                 S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}

Así vemos que son posibles cuatro resultados experimentales.En este caso, no es difícil listarlos todos.
La regla de conteo para experimentos de varias etapas permite determinar el numero de resultados experimentales sin listarlos.

REGLA DE CONTEO PARA EXPERIMENTOS DE ETAPAS MÚLTIPLES
Si un experimento se puede describir como una sucesión de K etapas, en las que hay n1 resultados posibles de la primera etapa, n2  en la segunda, etc.., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1),(n2)......(nK).
Si el experimento de lanzar dos monedas se considera como una sucesión de primero lanzar una moneda (n1=2) y luego lanzar la otra (n2=2), podemos inferir de la regla de conteo que hay (2)(2)=4 resultados experimentales distintos. Como se observa, hay S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}. El numero de resultados experimentales en un experimento que consiste en el lanzamiento d seis monedas es (2)(2)(2)(2)(2)(2)=64

COMBINACIONES
Una segunda regla de conteo que con frecuencia es de utilidad, permite contar la cantidad de resultados experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar r objetos entre un conjunto de n objetos(por lo común mas grande). Se llama regla de conteo para combinaciones.  El orden de los objetos seleccionados no es importante en el orden.


Regla de conteo para combinaciones
La cantidad de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es



La notación ! significa factorial; por ejemplo, 5 factorial es 5!=(5)(4)(3)(2)(1)=120. Por definición, 0! es igual a 1.

Un ejemplo de la regla de conteo para combinaciones es un procedimiento de control de calidad en que un inspector selecciona al azar dos de cinco partes, para examinar y ver si tiene defectos. En un grupo de cinco partes,¿cuantas combinaciones de dos partes se puede seleccionar?. La regla de conteo de la ecuación que para n=5 y r=2 el resultado es

Así, hay 10 resultados en el experimento de seleccionar al azar dos partes de un grupo de cinco. Si identificamos a cinco partes como A,B,C,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE y DE.
Otros ejemplo es el siguiente: la lotería de ohio emplea selección aleatoria de seis números de un grupo de 47 para determinar al ganador semanal. Se puede aplicar la regla de conteo. para combinaciones, para calcular la cantidad de maneras en que se pueden seleccionar seis números distintos de entre un grupo de 47 números.
La regla de conteo para combinaciones indica que hay mas de 10 millones de resultados experimentales para determinar al ganador de la lotería. Una persona se compra un boleto de lotería tiene una posibilidad de ganar 10737573 .

PERMUTACIONES 
Una tercer regla de conteo que a veces resulta útil es la regla de conteo para permutuaciones. Esta permite que uno pueda calcular el numero de resultados experimentales al seleccionar r objetos de un conjunto n objetos, donde es importante el orden de selección. Si los mismos r objetos se seleccionan en otro orden se considera que se trata de un resultado experimental distinto . En las permutaciones si importa el orden

Regla de conteo para permutaciones
El numero de permutaciones de n objetos tomando r a la vez esta dado por
La regla de conteo para permutuaciones tiene estrecha relación con la de las combinaciones. No obstante, un experimento tendrá mas permutaciones que combinaciones para el mismo numero de objetos porque cada selección de r objetos tiene n! formas distintas para ordenarlos.
Como ejemplo, considere de nuevo el proceso de control de calidad en que un inspector selecciona dos de cinco parte para hallar los defectos. ¿Cuantas permutuaciones es posible seleccionar? La regla de conteo de ecuación muestra que con n=5 y r=2 se tiene


Por tanto, 20 resultados son posibles para el experimento de elegir al azar dos pares de un grupo de cinco cuando hay que tomar en cuenta el orden de selección. Si marcamos las partes A,B,C, y E, las 20 permutaciones son AB,BA,AC,CA,AD,DA,AE,EA,BC,CB,BD,,DB,BE,EB,CD,DC,CE,EC,DE,ED.

   

13 comentarios:

  1. Muchas gracias por subir esta valiosa información. Busque en todos lados y en tu blog fue en el único lugar que entendí probabilidades. Me ayudo bastante, muchas gracias :)

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  2. Con un video seria mas entendible xq lo q esta en el blog es lo mismo q sale en el libro de estadistica y no entiendo una pija 👍

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  3. Con un video seria mas entendible xq lo q esta en el blog es lo mismo q sale en el libro de estadistica y no entiendo una pija 👍

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  4. Gracias por tu información me ayudó mucho.

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  5. Muy entendible. En mi tierra Colombia digo: Mas claro no canta un gallo.

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